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本文为“2022年第四届数学文化征文活动

数学在折纸设计中的应用

——单五密铺type 14的精确绘图及折纸设计

作者 : 傅薇

作品编号：095

摘要：有什么作品是可以将数学、铺砌艺术、文化图饰、折纸设计联系起来的吗？有，设计密铺类型的镶嵌折纸。本文将阐述15种单一凸五边形密铺中type 14的折纸设计过程及期间借助强大辅助工具——数学的种种应用。

一、密铺/镶嵌介绍

折纸与数学，密铺与镶嵌，不同的概念，却有着紧密的联系。有人可能会说，密铺/铺砌（tiling）与镶嵌(tessellation)，在数学里是统一的概念（后文会介绍不同之处），都是指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。镶嵌最早可以追朔到大约公元前4000年由苏美尔人用于建造装饰墙，后来逐渐被人们用于铺砌地砖等，其中比较知名的有开罗镶嵌（Cairo tiling）、Marjorie Rice设计被用于铺设美国数学学会（MAA）华盛顿总部大厅地板的versatile图案，以及2020年诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）设计的彭罗斯镶嵌（Penrose tiling）。前两种分属于单一凸五边形密铺中的type 4和type 5，归属于周期密铺；而第三种彭罗斯镶嵌属于非周期密铺。如图所示：

图 1.1: Cairo tiling, Marjorie Rice’s versatile and Penrose tiling.
数学家们善于从现实世界抽象、提炼他们感兴趣的内容，进行研究，进而形成完整的理论，从而这些理论又对这些内容的发展和应用起到了促进作用。密铺/镶嵌就是这些内容之一，形成的理论包括：
平面密铺/镶嵌的分类

表 1: 密铺/镶嵌分类（笔者根据万维百科制表）

图 1.2: 正则（三种）与半正则镶嵌（八种）（中间两图相同）.
2.17种墙纸群/平面对称群

图 1.3: 约翰·康威（John Conway）书中介绍的17种平面对称群.

图 1.4: 彩图版17种平面对称群.
3.多边形单密铺问题
a.任意三角形、任意凸四边形（如：正方形、长方形）、正六边形都可以密铺整个平面，且不规则六边形只有三种可以密铺整个平面。
b.任何边数n≥7的凸多边形都没有单密铺方式。
c.从1918年到2015年，数学家发现了不规则五边形的单密铺方式只有十五种。

图 1.5: 中文维基上的五边形镶嵌介绍.

图 1.6: 15种单一凸五边形镶嵌平面单元介绍.
二、绘制精确图示
2.1type 14介绍及图示分析
1985年，Rolf Stein发现了Type 14，这是21世纪前单五密铺的最后一次新发现，被刊登作为当年《数学杂志》的封面，在MAA出版的书中也有相关介绍。
图 2.1: THE HARMONY OF THE WORLD 和 MATHEMATICS MAGZINE两本书/杂志上有type 14 相关介绍.
笔者在网上搜索到的type 14介绍包含四个公式，有些还给出了具体的角度（近似），但没给出推导方法，于是笔者尝试从头开始分析、推导。并在原来基础上给出了其他必要的角度关系（右图）。

图 2.2: type 14单元介绍及笔者推导出的角度关系.2.2数学计算求精确解
（为节省空间，笔者将计算过程用图片形式展示：）

图 2.3: 根据type 14的四个公式计算出其单元的各角度.

经过前面的计算，得出了与资料一致的近似角度。但对于折纸来说，近似角度是不行的，想要进行折纸设计，必须在折纸软件里画出精确图示,否则边不重叠、点不重合。

其实，根据上题（图片）中的方程：也可以用精确边长来表示/限定角度：

根据实际情况取正值，做出各边长后，则角度可确定。

不仅如此，根据上题（图片）中的一次方程还可以换种方法解题，得出同样的结论。（下面第一图中是将该一次方程转化为3AB-2CD=BC ）。经过前面的计算，得出了与资料一致的近似角度。但对于折纸来说，近似角度是不行的，想要进行折纸设计，必须在折纸软件里画出精确图示,否则边不重叠、点不重合。

图 2.4: 求type 14单元角度的两道异曲同工题（笔者出题）.下面给出两题中第一题的解答，根据解出的边长、角度关系即可画出type 14的单元图示。

图 2.5: 求type 14单元角度的另解.

图 2.6: 根据题解在折纸软件中绘图，角度匹配.

根据计算结果，可以在折纸软件中画出需要的角度（小数点后的数字无限匹配）。下面介绍一下长度的绘制方法（笔者采用第三种方法）。

图 2.7: 绘制长度的三种方式（函数曲线、海螺图、勾股三角形）.

笔者除了前文提到的用来算type 14角度的几道题是自行出题外，还根据type 14的有限条件出过不少题，感兴趣的小伙伴可以一试（如下题）。出题是思路的整理过程，解题是思维的训练过程，一题多解是解题的升级训练，它们都是折纸设计之外的收获。